完备非紧黎曼流形的端或体积有限或非抛物的充分条件
设 $E$ 是一完备非紧黎曼流形 $M$ 的一个端, Peter Li 和 Jiaping Wang 在[L-W]中证明如果 $E$ 满足如下的 Sobolev型不等式: 对所有具有紧支集的 $u\in W^{1,2}(E)$, 存在常数 $\nu\geq 1$ 和 $C>0$, 有
\[(\int_E |u|^{2\nu})^{\frac{1}{\nu}}\leq C\int_E |\nabla u|^2,\]
则 $E$ 必或者体积有限或者非抛物型.
References:
[C-M-V] M. P. Cavalcante, H. Mirandola, and F. Vitório, The non-parabolicity of infinite volume ends, arXiv:1201.6291v1 [math.DG] 30 Jan 2012. http://arxiv.org/abs/1201.6391
[L-W] Peter Li, Jiaping Wang, Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9 (2002), no.1, 95-103.